Когда я растапливаю печь, дым почему-то идет из первых двух труб, огибающих печь!

То, что дым идет из первых двух конвективных труб газогенераторной печи, говорит о недостатке тяги, а не о том, что они прогорели. Инжекторы, которые стоят в печи Буллерьян для дожига, вварены как раз в первые две трубы, соединяющие камеру печи с вашим помещением.

Проверьте дымоход. Снимите прочистной стакан, снизу или сверху дымоход должен просматриваться на просвет и иметь диаметр не менее 100 мм (для печей типа 00-02). В противном случае его необходимо прочистить (тросом и т.п.). Если чистить снизу, можно воспользоваться сборным из тонких труб прочистным устройством (несколько труб, наворачивающихся друг на друга с ершиком на наконечнике).

Обязательно проверьте горизонтальный участок от печи до дымохода (он тоже может засориться). Прочистить его можно прямо через дверцу печи.